Partie B : modélisation

Cette partie a pour objectif de déterminer une modélisation du phénomène physique du refroidissement des corps dans un milieu à température constante, à partir de l'expérience de mesure du refroidissement du thé d'Hector.

On note :

• \(T\) la fonction qui, à chaque instant `t`, en secondes, associe la température du thé ;
  
• \(T_\text{env}\) la température ambiante : dans notre exemple, `T_\text{env}=22°\text{C}`.
  

1. Dans le tableur suivant, calculer, dans la colonne C, le taux de variation \(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\) de la température pour chaque minute écoulée.
2. Représenter le nuage de points \(\Big (T-T_\text{env}~;\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\Big)\). Un ajustement affine semble-t-il pertinent ?
3. Estimer le coefficient directeur \(k\) de l'ajustement affine, puis justifier que, suivant cet ajustement affine, \(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=-k(T-T_\text{env})\).

4. Que devient le taux de variation lorsque l'intervalle de temps entre deux mesures devient très petit, autrement dit, tend vers \(0\) ?
5. Conclure que la température en fonction du temps est modélisée par une fonction \(T\) telle que  \(\dfrac{\text{d} T}{\text{d} t}=-k(T-T_\text{env})\) où la notation \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t}\) représente la dérivée de la fonction \(t\) par rapport au temps. 
6. Pour quelle valeur de \(k\) l'ajustement exponentiel, déterminé dans la partie A, est solution de cette équation ? Interpréter le sens physique du coefficient \(k\) et en préciser l'unité de mesure.